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出品：科普中國

作者：Denovo

監制：中國科普博覽

你或許也有過(guò)這樣的經(jīng)歷：搬家時(shí)，想在狹窄的空間里移動(dòng)家具，結果在轉彎時(shí)被卡住，怎么轉都轉不過(guò)去。數學(xué)家將這一難題稱(chēng)為“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”。

2024年12月2日，韓國數學(xué)家白真允（Jineon Baek）在社交媒體上宣稱(chēng)自己已解決這一問(wèn)題，隨即在國內外媒體和數學(xué)界引發(fā)廣泛討論。也許你會(huì )好奇：看似一個(gè)與日常生活緊密相關(guān)的小問(wèn)題，到底有多難？

移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題涉及形狀如何適應拐角的數學(xué)問(wèn)題

（圖片來(lái)源：加州大學(xué)戴維斯分校）

“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”是什么？

事實(shí)上，“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”是一個(gè)經(jīng)歷了許多討論與探索的問(wèn)題。早在20世紀60年代，一些數學(xué)家就已經(jīng)開(kāi)始探討與這一問(wèn)題相關(guān)的幾何優(yōu)化問(wèn)題。

1966年，奧地利裔加拿大數學(xué)家李奧·莫澤（Leo Moser）在正式的數學(xué)刊物中首次提出了“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”的明確數學(xué)定義和問(wèn)題描述：在寬度為1的L形平面走廊中，能夠通過(guò)一個(gè)直角轉彎而不發(fā)生碰撞的“沙發(fā)”的最大面積是多少？這一問(wèn)題自此引起了數學(xué)界的廣泛關(guān)注，并成為經(jīng)典的幾何優(yōu)化問(wèn)題之一。

移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題演示

（圖片來(lái)源：文獻[1]）

1968年，英國數學(xué)家約翰·邁克爾·哈默斯利（John Michael Hammersley）根據最簡(jiǎn)單的情形提出了一種解法。他將“沙發(fā)”設計成類(lèi)似于一個(gè)電話(huà)聽(tīng)筒的形狀，由兩個(gè)四分之一圓和一個(gè)中間的矩形塊組成，中間的矩形塊中挖去了一個(gè)半圓形，從而得出的“沙發(fā)”最大面積為

。

哈默斯利設計的“沙發(fā)”

（圖片來(lái)源：維基百科）

1992年，美國數學(xué)家約瑟夫·杰弗（Joseph Gerver）在哈默斯利設計的“沙發(fā)”的基礎上進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種由18條光滑曲線(xiàn)圍成的“沙發(fā)”，算出的最大沙發(fā)面積約為2.2195，進(jìn)一步提高了這個(gè)問(wèn)題解的下限。

杰弗設計的“沙發(fā)”

（圖片來(lái)源：維基百科）

又到了2014年，業(yè)余數學(xué)家菲利普·吉布斯（Philip Gibbs）通過(guò)計算機演算得出了一種最優(yōu)沙發(fā)形狀，其與約瑟夫·杰弗（Joseph Gerver）設計的“Gerver沙發(fā)”幾乎相同，且計算出的面積在八位有效數字下相同。這一發(fā)現表明，杰弗設計的“沙發(fā)”很可能就是移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題的最優(yōu)解，不過(guò)這一點(diǎn)尚未得到數學(xué)上的正式證明。

不過(guò)，科學(xué)家們至少已經(jīng)確定了“沙發(fā)”面積的一個(gè)上限，也就是這個(gè)面積最大不能超過(guò)多少。哈默斯利指出了沙發(fā)常數的上限最多為2√2≈2.8284。2018年，約阿夫·卡魯斯（Yoav Kallus）和丹·羅米奇（Dan Romik）通過(guò)將走廊（而不是沙發(fā)）旋轉幾個(gè)不同角度，使旋轉后的走廊交集形成盡可能大的連接區域，并利用計算機搜索，成功將“沙發(fā)”的上限縮小至2.37。

也就是說(shuō)，“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”的最優(yōu)解在2.2195～2.37之間。

“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”到底難在哪？

看到這里，你可能會(huì )問(wèn)：“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”看起來(lái)如此直觀(guān)簡(jiǎn)單，為什么卻困擾數學(xué)家超過(guò)半個(gè)世紀？

盡管約瑟夫·杰弗已經(jīng)提出了一個(gè)近似最優(yōu)解，但要證明它就是真正的最優(yōu)解仍然非常困難，因為這需要排除所有可能存在的更優(yōu)形狀。而在平面內，“沙發(fā)”的形狀可以千變萬(wàn)化，最優(yōu)解很可能是一個(gè)不對稱(chēng)、復雜且不規則的多邊形。

要探索所有可能的形狀并評估其面積和可移動(dòng)性，涉及極為龐大的計算量，這使得窮舉所有可能性成為不可能。此外，既缺乏對稱(chēng)性和規則性，又能靈活轉動(dòng)和移動(dòng)的形狀在幾何上本身就非常復雜，因此，數學(xué)家們也難以找到一個(gè)通用的公式來(lái)解決這一問(wèn)題。

進(jìn)入新世紀后，隨著(zhù)計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，數學(xué)家們開(kāi)始廣泛采用計算機輔助設計和運動(dòng)路徑模擬，探索“沙發(fā)”可能的形狀。然而，即使是使用計算機輔助的數值方法和優(yōu)化算法，現有的算法在排除所有潛在的更優(yōu)形狀，以及探索和驗證各種復雜形狀的可行性和面積時(shí)，依然常常面臨計算時(shí)間過(guò)長(cháng)和計算資源消耗過(guò)大的問(wèn)題，這在很大程度上限制了進(jìn)一步研究的進(jìn)展。

而近年來(lái)很火的機器學(xué)習在解決“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”時(shí)也受到很大限制。機器學(xué)習模型通常需要大量的數據進(jìn)行訓練，而“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”的解答主要依賴(lài)于理論推導和優(yōu)化算法生成的有限數據集，難以滿(mǎn)足大規模模型的訓練需求。

此外，數學(xué)優(yōu)化問(wèn)題往往需要高度可解釋和精確的解決方案，而機器學(xué)習模型的“黑箱”特性使其可能只能給出答案，給不出解決過(guò)程，這使得其難以直接應用于此類(lèi)問(wèn)題的求解。

“沙發(fā)”不僅需要通過(guò)直角轉彎，還必須避免與走廊的墻壁發(fā)生碰撞，這些多重約束條件使得優(yōu)化過(guò)程極為復雜?！耙苿?dòng)沙發(fā)問(wèn)題”涉及幾何學(xué)、優(yōu)化理論和計算幾何等多個(gè)學(xué)科的知識，因此需要跨學(xué)科的研究來(lái)尋找解決方案。

“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”真的被解決了嗎？

讓我們將目光轉向近期備受關(guān)注的白真允（Jineon Baek）那篇長(cháng)達119頁(yè)的論文。他宣稱(chēng)，自己已證明由約瑟夫·杰弗設計的那款“沙發(fā)”就是最優(yōu)解。

白真允首先提出了最優(yōu)“沙發(fā)”的形狀限制條件：①沙發(fā)的形狀可通過(guò)旋轉走廊的交集定義；②沙發(fā)的邊長(cháng)需滿(mǎn)足特定的平衡條件；③必須能夠旋轉90度完成移動(dòng)。

接著(zhù)，他證明了“沙發(fā)”在運動(dòng)過(guò)程中，其關(guān)鍵點(diǎn)的軌跡不自交（即沒(méi)有重復或重疊），形成平面上的簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)，從而確保了面積計算的嚴謹性。

Q(S)定義的圖示

（圖片來(lái)源：文獻[1]）

隨后，他構造了一個(gè)二次函數Q(S)作為“沙發(fā)”面積的上界，并利用Mamikon定理和Brunn-Minkowski理論證明了Q(S)是凹函數，這意味著(zhù)它的局部最大值也是全局最大值。

最后，他驗證了杰弗設計的“沙發(fā)”完全符合這些條件，且Q(S)的值在此達到最大，確認其面積2.2195是理論上的最大值。

不過(guò)，這篇論文尚未見(jiàn)諸權威期刊，也未經(jīng)過(guò)廣泛的同行評審，目前學(xué)界對其證明的正確性和嚴謹性仍持觀(guān)望態(tài)度。要斷言“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”已經(jīng)徹底解決，恐怕還為時(shí)尚早。

結語(yǔ)

那么，徹底解決這個(gè)問(wèn)題究竟有什么意義呢？

除了在解決過(guò)程中開(kāi)發(fā)的工具和構造方法為其他幾何優(yōu)化問(wèn)題提供了新的思路外，“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”還可以被抽象為一種空間利用的極限優(yōu)化模型，對建筑設計、家具制造以及物流管理等實(shí)際領(lǐng)域具有重要參考價(jià)值。例如，在狹窄空間中搬運物體時(shí)快遞機器人的路徑規劃，生產(chǎn)流水線(xiàn)上的機械臂搬運不規則物體時(shí)的空間路徑規劃，就可以從這一問(wèn)題的研究中獲得啟發(fā)。

讓我們靜待數學(xué)家們對白真允論文的審慎驗證，共同期待這一困擾科學(xué)界60多年的難題最終得以圓滿(mǎn)解決。

參考文獻：

[1] Baek J. Optimality of Gerver's Sofa[J]. arXiv preprint arXiv:2411.19826, 2024.

[2] Gibbs P. A computational study of sofas and cars[J]. Computer Science, 2014, 2: 1-5.

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